15 Gamma函数

15.1 简史

15.1.1 动机

插值问题:寻找一条光滑曲线 \(y = y()\) 满足 取值为正整数时，\(y =( - 1)!\)； 寻找阶乘函数的光滑延拓/解析延拓。

求解困难: 阶乘对于一般的实数值并没有很显然的直接推广，但是直观上我们确实可以找到无穷多条连续曲线将这些平面直角坐标系上离散的点连接起来。

并且通过尝试，简单的利用有限次加减乘除、幂和对数运算甚至不能写出 \(n!\)的表达式，也就是说此问题的解很有可能并不初等。

另一个值得注意的问题是，此问题的解若存在也不唯一，比如可以再加上一个 \(k \, sin \, m\pi x\)，其中k为任意实数，m为任意整数，此式等于0。

问题的另一种表述:求解如下递推方程

\[ f(1) = 1 \]

\[ f(x + 1) = af(a) \] 类似地，此问题的解若存在也并不唯一，如可以乘上一个 \(e^{k\,sin\,m\pi x}\)，事实上唯一性问题的解决要比此问题的解决晚了两个世纪。

15.2 定义

15.2.1 Euler定义

定义：设x>0，则Gamma函数（第二类Euler积分）定义如下：

\[ \Gamma(x)=\int_0^1 (-ln(t))^{x-1}dt \] 利用换元法，\(y=-ln\,t\) \(t=e^{-y}\)，\(\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}y^{x-1}e^{-y}dy\)

等价于现代定义：设x>0，则Gamma函数定义如下

\[ \Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}dt \]

15.2.2 Gauss定义

定义：设

\[ f(x)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)} \]

\[ 其中，B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\\ \Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}dt \]

\[ f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}}x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}} \]

\[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\theta}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

\[ E(X)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} \\ D(X)=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} \]

\[ E(X)=\mu \\ D(X)=\sigma^2 \]

\[ E(X)=\alpha \beta \\ D(X)=\alpha \beta^2 \] \[ f(x)=\frac{1}{x\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(lnx-\mu)^2}{2\sigma^{2}}} \] \[ E(X)=e^{{\frac{\mu+\sigma^2}{2}}} \\ D(X)=(e^{\sigma^2}-1)e^{2\mu+\sigma^2} \]

\[ \alpha =E(X) (\frac{E(X)(1-E(X))}{D(X)} -1) \]

\[ \beta = \frac{E(X)(1-E(X))}{D(X)} \] \[ (\alpha+\beta) = \frac{E(X)(1-E(X))}{D(X)}-1 \]

\[ \alpha=E(X)(\alpha+\beta) \]

\[ \beta=(\alpha+\beta)-\alpha \]

\[ \beta=\frac{D(X)}{E(X)} \\ \alpha=\frac{E(X)}{\beta} \]

\[ \sigma=\sqrt {ln(1+\frac{D(X)}{E(X)^2})} \]

\[ \mu=ln(E(X))-\frac{1}{2}\sigma^2 \]

\[ \mu=E(X) \\ \sigma= \sqrt{ D(X)} \] \[ NMB_i=E_i \lambda-C_i \\ 其中：NMB为净货币收益，i为第i个干预措施，\\E为效果（通常是QALY），\lambda为支付意愿阈值，C为成本 \]